\( \def\R{{\sf I\kern -.1em\sf R}} \def\N{{\sf I\kern -.1em\sf N}} \def\K{{\sf I\kern -.1em\sf K}} \def\Z{{\sf Z\kern -.4em \sf Z}} \def\B{{\sf I\kern -.1em \sf B}} \newcommand{\C}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf C}} \newcommand{\Q}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf Q}} \let\leq=\leqslant \let\geq=\geqslant \let\ge=\geq \let\le=\leq \def\vect#1{\overrightarrow{#1}} \def\crochetentierouvrant{\mathopen{[\![}} \def\crochetentierfermant{\mathclose{]\!]}} \newcommand{\Et}[1][et]{\qquad\mbox{#1}\qquad} % Dans les formules \newcommand{\Ou}{\Et[ou]} % display¬āes \newcommand{\Avec}{\Et[avec]} % \newcommand{\et}[1][et]{\quad\mbox{#1}\quad} % Dans les formules \newcommand{\ou}{\et[ou]} % display¬āes \newcommand{\avec}{\et[avec]} % \newcommand\res[1]{\fbox{#1}} \let\oldphi=\phi \renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \let\epsilon=\eps \newcommand{\fonction}[5][rcl] {\begin{array}[t]{#1} #2& \longrightarrow& #3\\ #4& \longmapsto& #5\end{array}} \newcommand{\matrice}[2]{\left(\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right)} \newcommand{\determ}[2]{\left|\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right|} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \def\restr#1{_{|_{#1}}} \def\O{{\rm{O}}} \def\o{{\rm{o}}} \def\To_#1{\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \def\diff{\textrm d} \newcommand{\motreserve}[2]{ \def#1{\mathop{\rm #2}\nolimits}} \def\card{\Card} \def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} \def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits} \def\th{\mathop{\rm th}\nolimits} \def\tg{\mathop{\rm tan}\nolimits} \def\cotg{\mathop{\rm cotan}\nolimits} \let\cotan=\cotg \def\argch{\mathop{\rm argch}\nolimits} \def\argsh{\mathop{\rm argsh}\nolimits} \def\arcsin{\mathop{\rm arcsin}\nolimits} \def\arccos{\mathop{\rm arccos}\nolimits} \def\argth{\mathop{\rm argth}\nolimits} \def\arctg{\mathop{\rm arctan}\nolimits} \let\arctan=\arctg \def\Arg{\mathop{\rm Arg}\nolimits} \def\Id{\mathop{\rm Id}\nolimits} \def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits} \let\ker=\Ker \def\det{\mathop{\rm det}\nolimits} \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\rg{\mathop{\rm rg}\nolimits} \def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits} \let\tr=\Tr \def\Mat{\mathop{\rm Mat}\nolimits} \def\Diag{\mathop{\rm Diag}\nolimits} \def\Vect{\mathop{\rm Vect}\nolimits} \def\Card{\mathop{\rm card}\nolimits\,} \def\grad{\mathop{\vect{{\rm grad}}}\nolimits} \def\divergence{\mathop{\rm div}\nolimits} \def\rot{\mathop{\rm rot}\nolimits} \let\emptyset=\varnothing %%%%%%% ALGEBRE LINEAIRE %%%%%%%%% \def\lin{{\mathcal L}} \newcommand\Mn[1][n]{\mathcal{M}_{#1}} \def\GL{{\mathcal{GL}}} \def\GA{{\mathcal{GA}}} \newcommand\GLn[1][n]{\mathcal{GL}_{#1}} \def\SO{{\mathcal{SO}}} \newcommand\SOn[1][n]{\mathcal{S\mskip-0.3\thinmuskip O}_{#1}} \def\OO{{\mathcal O}} \newcommand\OOn[1][n]{\mathcal{O}_{#1}} \def\SL{{\mathcal{SL}}} \newcommand\SLn[1][n]{\mathcal{SL}_{#1}} \def\BL{{\mathcal{BL}}} \newcommand\Sn[1][n]{\mathcal{S}_{#1}} \newcommand\An[1][n]{\mathcal{A}_{#1}} \motreserve{\Hom}{Hom} \motreserve{\End}{End} \motreserve{\Aut}{Aut} \motreserve{\af}{Aff} \def\transpose#1{{\vphantom{#1}}^{t}\!{#1}} \motreserve{\Diag}{Diag} \motreserve{\Trig}{Trig} \motreserve{\Com}{Com} \motreserve{\codim}{codim} \let\com=\Com \motreserve{\sp}{sp} \let\Sp=\sp \motreserve{\car}{car} \let\Car=\car \motreserve\rang{rang} %%% EVN, EUCLIDIENS %%%%%% \def\norme#1{\mathopen\|#1\mathclose\|} \def\Norme#1{\bigl\|#1\bigr\|} \def\NORME#1{\left\|#1\right\|} \def\troisbarres{|\!|\!|} \def\Troisbarres{\big|\!\big|\!\big|} \def\TROISBARRESL{\left|\!\left|\!\left|} \def\TROISBARRESR{\right|\!\right|\!\right|} \def\normeop#1{\mathopen{\troisbarres}#1\mathclose{\troisbarres}} \def\Normeop#1{\mathopen{\Troisbarres}#1\mathclose{\Troisbarres}} \def\NORMEOP#1{\TROISBARRESL#1\TROISBARRESR} \def\va#1{\mathopen|#1\mathclose|} \def\Va#1{\bigl|#1\bigr|} \def\VA#1{\left|#1\right|} \def\angle#1{\widehat{(#1)}} \motreserve{\Diam}{Diam} \motreserve{\Is}{Is} \motreserve{\Det}{Det} \def\ps#1#2{\mathopen{\mbox{(}}\,#1\mathrel{|}#2\,\mathclose{\mbox{)}}} \def\Ps#1#2{\bigl(#1\bigm|#2\,\bigr)} \def\PS#1#2{% \left(\,#1\vphantom{#2}\,\right|\left.\vphantom{#1}#2\,\right)} %%%%%%% ENSEMBLES DE FONCTIONS %%%%%%%%% \def\FF{{\mathcal F}} % ensemble des fonctions \def\CC{{\mathcal C}} % fonctions continues ou de classe C^k \newcommand\CM[1][]{{\mathcal C}^{#1}\!{\mathcal M}} % fonctions continues ou de classe C^k par morceaux \def\LL{{\mathcal L}} % fonctions int¬āgrables \def\PP{{\mathcal P}} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\pour{\,;\;} %\def\un{\mathbb{1}} \def\un{{ 1\kern -.35em 1}} %%% Probl√®me avec \max ET \min qui donnent old... \def\max{\mathop{\rm max}\nolimits} \def\min{\mathop{\rm min}\nolimits} %%%%%%% DERIVEES PARTIELLES %%%%%%%%% \newcommand\derp[2][x_j]{\frac{\partial #2}{\partial #1}} %%%%%%% INTERVALLE ENTIERS %%%%%%%%% \let\ceo=\crochetentierouvrant \let\cef=\crochetentierfermant %%%%%%% ABREVIATIONS COURANTES %%%%%%%%% % \def\ssi{}\renewcommand{\ssi}[1][,]{si, et seulement si#1} % \def\ssil{si, et seulement s'il} % \def\cad{c'est-\`a-dire} % \def\ie{\textit{i.e.}} % \def\qq{quelque} % \def\qcq{quelconque} % %%%%%%% ALGEBRE LINEAIRE %%%%%%%%% % \def\SEP{sous-espace propre} % \def\SEPS{sous-espaces propres} % \def\vp{valeur propre} % \def\vps{valeurs propres} % \def\VP{vecteur propre} % \def\VPS{vecteurs propres} % % \def\AL{application lin\'eaire} % \def\ALS{applications lin\'eaires} % \def\CL{combinaison lin\'eaire} % \def\CLS{combinaisons lin\'eaires} % \def\EV{espace vectoriel} % \def\EVS{espaces vectoriels} % \def\SEV{sous-\EV} % \def\SEVS{sous-\EVS} % \def\DF{dimension finie} \def\vi{\vec\imath} \def\vj{\vec\jmath} \def\vk{\vec k} \newcommand{\pM}[3]{#1\big|{#2\atop#3}} \newcommand{\pv}[3]{\vec{#1}\big|{#2\atop#3}} %%% EVN, EUCLIDIENS %%%%%% \let\ch=\cosh \let\sh=\sinh \let\th=\tanh \def\argcosh{\mathop{\rm argcosh}\nolimits} \def\argsinh{\mathop{\rm argsinh}\nolimits} \def\argtanh{\mathop{\rm argtanh}\nolimits} \def\d{\mathinner{\rm d}\mathclose{}} %%%%%%% PROBABILITES %%%%%%%%% \def\Prob{{\mathbb P}} \def\Esp{{\mathbb E}} \def\Var{{\mathbb V}} \newcommand{\Cov}{\textrm{Cov}} \newcommand{\cov}{\textrm{Cov}} \let\oldbigcup=\bigcup \def\bigcup{\oldbigcup\limits} %\let\oldlim=\lim %\def\lim{\oldlim\limits} \let\oldbigcap=\bigcap \def\bigcap{\oldbigcap\limits} \let\oldsum=\sum \def\sum{\oldsum\limits} \let\oldprod=\prod \def\prod{\oldprod\limits} \let\oldcoprod=\coprod \def\coprod{\oldcoprod\limits} %\let\oldsup=\sup %\def\sup{\oldsup\limits} %\let\oldinf=\inf %\def\inf{\oldinf\limits} \let\oldlimsup=\limsup \def\limsup{\oldlimsup\limits} \let\oldliminf=\liminf \def\liminf{\oldliminf\limits} \let\oldmax=\max \def\max{\oldmax\limits} \let\oldmin=\min \def\min{\oldmin\limits} \let\oldbigotimes=\bigotimes \def\bigotimes{\oldbigotimes\limits} \let\oldbigoplus=\bigoplus \def\bigoplus{\oldbigoplus\limits} \let\oldbigsqcup=\bigsqcup \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldbigsqcap=\bigsqcap \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldint=\int \def\int{\displaystyle\oldint} \)

Feuille 1

Exercice   Pour $a\in\mathopen{[}-\pi ,\pi \mathopen{]}$, exprimer $\cos\frac{a}{2}$ en fonction de $\cos a$. [Indication]

Exercice   R√©soudre l'√©quation : $\cos x-\cos 2x=\sin 3x$. [Indication]

Exercice   V√©rifier qu'il existe un r√©el $a$ tel que, pour tout $x\in\R$ :

$\ds \sin 3x = a\,\sin x\,\sin \Big(x+\frac{\pi }{3}\Big)\sin \Big(x+\frac{2\,\pi }{3}\Big)\cdot$

[Indication]

Exercice   Si $x\in \mathopen{[}-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\mathopen{]}$ v√©rifie $\sin x=\frac{1}{5}$ que vaut $\tan x$ ? [Indication]

Pour la d√©finition de $\tan$ voir √©ventuellement le chapitre de trigonom√©trie : partie II.2 Sinus, cosinus (et tangente)

Exercice   R√©soudre l'√©quation : $\sin x=\sqrt{3}\,\cos x$. [Indication]

Exercice   D√©terminer la valeur exacte de $\ds\tan \Big(\frac{\pi}{8}\Big)\cdot$ [Indication]

Pour la d√©finition de $\tan$ voir √©ventuellement le chapitre de trigonom√©trie : partie II.2 Sinus, cosinus (et tangente)

Exercice   D√©terminer les r√©els $x$ v√©rifiant :

$\hskip10ex | x+3| -| x-1| =| 2\,x+1|.\hskip5ex$ [Indication]